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2024年全国高等教育自考《线性代数》考试前模拟卷
1、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
3.设A为4×5矩阵且r=4，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数为。
A.1
B.2
C.3
D.4
4.设A的特点值为1，-1，向量ɑ是是1的特点向量，β是是-1的特点向量，则下列论断正确的是。
A.ɑ和β线性无关
B.ɑ+β是A特点向量
C.ɑ和β线性有关
D.ɑ与β必正交
5.下列命题中错误的是。
A.只含有一个零向量的向益组线性有关
B.由3个2维向量组成的向量组线性有关
C.由一个非零向量组成的向量组线性有关
D.两个成比率的向量组成的向量组线性有关
2、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6.设A，B 都为n 阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为。
7.设A为实对称矩阵，
是A是不同特点值λ1和λ2的特点向量，则a=。
9.设向量
=，则的单位化向量为。
3、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
4、证明题（本题7分）
2024年全国高等教育自考《线性代数》考试前模拟卷
参考答案
1、单项选择题
1.【答案】C
【分析】由代数余子式的概念知，Aij=i+jMij。
2.【答案】C
【分析】存在可逆矩阵P使B=P-1AP，因此B2=P-1AP・P-1AP=P-1A2P=P-1P=E。
3.【答案】A
4.【答案】A
【分析】是不同特点值的特点向量必线性无关。
5.【答案】C
2、填空题
6.【答案】AB=BA
【分析】A，B为n阶对称矩阵，则AT=A，BT=B，由于AB也是对称矩阵。T=BTAT=BA=AB，故A、B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为AB=BA。
7.【答案】5
【分析】因为实对称矩阵是不同特点值的特点向量正交，因此（ɑ1，ɑ2）=a-8+3=a-5=0，所以a=5。
8.【答案】2E
【分析】A2+B2=ABB-1A+BA-1AB=EE+EE=E+E=2E。
9.【答案】
【分析】单位化即便各元素的平方加起来为1，，所以单位化向量
为。
10.【答案】a≠-2且a≠1
11.【答案】3
【分析】
，已知r（A）=3，
故，故c≠3。
12.【答案】-4
【分析】。
要谨记如下公式：|kA|=knA。
|AB|=|A||B|，|A-1|=|A|-1。
13.【答案】n
【分析】本题考查借助概念求矩阵的秩，就是借助矩阵的行列式是不是为零来确定矩阵的秩，由于A≠0，所以至少有一个元素aij≠0；将I人工智能按第i行展开，有|A|=＞0，故r（A）=n。
14.【答案】1
【分析】正惯性指数为3， 负惯性指数为2。所以符号差为3-2=1。
15.【答案】12
【分析】
对增广矩阵作初等行变换，有，因此可见，r=2，假如方程有解，必有r"title="湖南自学考试网：2024年全国高等教育自考《线性代数》考试前模拟卷" width="17" height="22" src="http://www.hnzk.hn.cn/public/plugins/Ueditor/themes/default/images/spacer.gif"/>)=2，因此，所以λ=12。
3、计算题
16.【答案】
17.【答案】解：
从而ɑ1，ɑ2，ɑ3为一个很大线性无关组，且ɑ4=ɑ1+2ɑ2（答案不唯一）。
18.【答案】（1）设矩阵A的特点值为λ，则由A2+2A=0知，λ2+2λ=0，故λ=0或λ=-2，由于r（A）=2，λ=0不可能是二重根，故A=-2是二重根。
（2）kE3+A的特点值为k+λ，kE3+A为正定矩阵的充要条件是kE3+A有3个大于0的特点值，故当k2时，k+λ0，kE3+A必为正定矩阵。
19.【答案】解：已知r =2，r=2，但R不可以由S线性表出，S也不可以由R线性表出，故R与S不等价。
20.【答案】
求解非齐次线性方程组
据此可知当λ=15时，β=11-5+0。
21.【答案】解：因为AB=A2-E，又.
所以A可逆，因此B=A-1=A-A-1
22.【答案】
由此得.
所以方程组无解。
4、证明题
23.【答案】（1）由，，，线性有关得
k1≠0，否者，线性有关，与，，线性无关矛盾，从而得能由，线性表出。
（2）反证法，若能由，，线性表出，可得出也能由，线性表出，与，，线性无关矛盾，从而得不可以由，，线性表出。
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